آموزش کنترل غیرخطی

این جلسه شروع فصل سوم است و در آن ابتدا به مفاهیم کلی پایداری پرداخته شد سپس تعریف سیستم های خودگردان و غیرخودگران ارائه شد همچنین تعریف نقاط تعادل در این جلسه به همراه مثالهای عملی و تئوری ارائه گردید.

مدت زمان این جلسه: 50 دقیقه

ابتدا نحوه تبدیل بررسی پایداری سیستم ها حول حرکت نامی به بررسی پایداری سیستم ها حول یک نقطه تعادل گفته شد سپس مفاهیم پایداری لیاپانف و مجانبی هم از نظر تعریف و هم از نظر هندسی به صورت کامل بررسی شد همچنین حالت هایی که ممکن است سیستم ناپایدار شود نیز به همراه ذکر مثالهایی ارائه شد.

مدت زمان این جلسه: 55 دقیقه

پایداری نمایی مهمترین موضوعی بود که در این جلسه به آن به صورت کامل پرداخته شد. در انتها نیز پایداری محلی مجانبی و نمایی و همچنین پایداری سراسری مجانبی و نمایی تعریف و بررسی شدند.

مدت زمان این جلسه: 58 دقیقه

بی شک روش خطی سازی لیاپانف یکی از مهمترین شاهکارهای الکساندر میخایلویچ لیاپانف هست. این روش پایداری کاربردی از روش مستقیم لیاپانف هست که شاید 99 درصد افراد به غلط اون رو روش اول و روش مستقیم رو روش دوم می نامند. در واقع روش نماها روش اول لیاپانف بوده و روش دوم همان روش مستقیم و روش خطی سازی کاربردی از روش مستقیم است. در این جلسه به بحث در مورد روش خطی سازی سیستم های غیرخطی پرداخته شده که برای انواع حالت ها اعم از خطی سازی با ورودی کنترلی بدون ورودی کنترل خطی سازی حول مبدا و خطی سازی حول نقطه کار وقت گذاشته شد. از این جلسه لذت ببرید!

مدت زمان این جلسه: 60 دقیقه

اگر روش مستقیم لیاپانف رو نه تنها قلب کنترل غیرخطی بلکه قلب مهندسی کنترل در مقطع تحصیلات تکمیلی معرفی کنیم پر بیراه نگفتیم. در روش مستقیم لیاپانف یک تابع موسوم به تابع لیاپانف که باید خودش مثبت و مشتق آن منفی باشد پیدا شود در این صورت می توان نتیجه گرفت که سیستم پایدار است. اما موضوع به این سادگی نیست. در این جلسه به صورت مفصل به توضیح این روش پرداخته شده است. با مثالهای فراوان ابعاد کور کتاب اسلاتین را در این بخش پوشش داده شده است. ابتدا فلسفه روش مستقیم گفته شد سپس تابع مثبت معین و تابع لیاپانف به همراه مثال تشریح شدند. سپس پایداری به روش مستقیم لیاپانف گفته شد و مثالهایی در این زمینه زده شد و در پایان موضوع مهم پایداری مجانبی سراسری که به همراه مثال توضیح داده شد موضوعی که در کتاب هیچ مثالی برایش آورده نشد.

مدت زمان این جلسه: 70 دقیقه

قضیه لاسال یا قضیه مجموعه نامتغیر زمانی اهمیت پیدا می کند که تابع لیاپانف مثبت معین باشد و مشتق آن منفی نیمه معین باشد. در این حالت قضیه مستقیم لیاپانف تنها پایداری لیاپانف را اثبات می کند و سخنی در مورد پایداری مجانبی نمی زند. در این حالت است که با استفاده از قضیه لاسال می توان سیستم هایی که پایدار مجانبی هستند ولی با روش مستقیم لیاپانف مجانبی بودن آنها قابل اثبات نیست، را اثبات کرد. قضیه لاسال فقط و فقط برای سیستم های خودگردان (نامتغیر با زمان) قابل استفاده است. در این جلسه ابتدا قضیه لاسال به صورت تصویری به طور کامل تشریح شده است و سپس سه مثال مهم شامل: 1. اثبات پایداری مجانبی وقتی که قضیه مستقیم از اثبات آن عاجز است، 2. بدست آوردن ناحیه جذب، 3. اثبات وجود چرخه حدی، تشریح شده اند. این جلسه از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است زیرا در بسیاری از مقالات از این قضیه برای اثبات پایداری مجانبی سیستم استفاده می شود. نکته آخر اینکه از موضوع جلسه قبل یک مثال و چند تا ریمارک باقی مانده بود که ابتدای این جلسه به آن پرداخته شد. مثال مرتبه اول که در ابتدای این جلسه حل شد آنقدر مهم است که توصیه اکید می شود که این مثال را به صورت فلش کارت در بیاورید و حفظ کنید. در این مثال یک سیستم کلی مرتبه اول به همراه یک فرضیات آورده شده است که اگر سیستم این شرایط را داشته باشد تابع لیاپانف آن را براحتی می توان نوشت.

مدت زمان این جلسه: 84 دقیقه

این جلسه با ارائه قضیه سراسری لاسال آغاز می شود و یک مثال بسیار بسیار مهم از سیستم های مرتبه دوم حل می شود. این یک مثال کلی است و همانند مثال سیستم مرتبه اول باید حفظ شود. اما مثال بعدی یک مثال چالشی برای توابع لیاپانف چند ماهیتی است. با استفاده از شبیه سازی در متلب و رسم تابع لیاپانف مذکور ابعاد تاریک این مثال روشن شده است و براحتی قابل درک شده است.

روش های یافتن تابع لیاپانف که در این آموزش تشریح می شوند عبارتند از: 1. روش گرادیان 2. روش کراسفسکی 3. یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی 4. تئوری انفعال یا پسیویتی 5. توابع لیاپانف برای سیستم های خطی.

در این جلسه مورد پنجم بررسی شده است

مدت زمان این جلسه: 75 دقیقه

همانطور که قبلا ذکر شد روش های یافتن تابع لیاپانف که در این آموزش تشریح می شوند عبارتند از: 1. روش گرادیان 2. روش کراسفسکی 3. یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی 4. تئوری انفعال یا پسیویتی 5. توابع لیاپانف برای سیستم های خطی.

در این جلسه روش های گرادیان متغیر، روش کراسفسکی و یافتن تابع لیاپانف با استفاده از انگیزه های فیزیکی تشریح شدند. روش های گرادیان متغیر و روش کراسفسکی برای سیستم های با مرتبه پایین (عموما یک و دو) کاربرد دارد اما اگر به موضوعات فیزیکی مسلط باشیم و بتوانیم از روش سوم استفاده کنیم حتی برای سیستم های پیچیده و مرتبه بالا مثل ربات های صنعتی قابل استفاده است. در پایان این جلسه یک لم همگرایی ساده توضیح داده می شود که برای تخمین نرخ همگرایی برای سیستم های خطی و غیرخطی بسیار موثر است.

مدت زمان این جلسه: 98 دقیقه